الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}]$

خطوة 1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$

خطوة 2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $2$ هي المصفوفة المربعة $2 \times 2$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة $I_{2}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 8 - λ & - 3 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $- 3$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 8 - λ & - 3 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أضف $3$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 8 - λ & - 3 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (8 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot - 3$

خطوة 5.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

وسّع $(8 - λ) (2 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 8 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot - 3$

خطوة 5.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot - 3$

خطوة 5.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

خطوة 5.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1.1

اضرب $8$ في $2$ .

$p (λ) = 16 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

خطوة 5.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

خطوة 5.2.1.2.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

خطوة 5.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot - 3$

خطوة 5.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot - 3$

خطوة 5.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot - 3$

خطوة 5.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot - 3$

خطوة 5.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot - 3$

خطوة 5.2.1.2.2

اطرح $2 λ$ من $- 8 λ$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} - 3 \cdot - 3$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} + 9$

خطوة 5.2.2

أضف $16$ و $9$ .

$p (λ) = - 10 λ + λ^{2} + 25$

خطوة 5.2.3

أعِد ترتيب $- 10 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 10 λ + 25$

خطوة 6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$λ^{2} - 10 λ + 25 = 0$

خطوة 7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$λ^{2} - 10 λ + 5^{2} = 0$

خطوة 7.1.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$10 λ = 2 \cdot λ \cdot 5$

خطوة 7.1.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 5 + 5^{2} = 0$

خطوة 7.1.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = λ$ و $b = 5$ .

${(λ - 5)}^{2} = 0$

خطوة 7.2

عيّن قيمة $λ - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 5 = 0$

خطوة 7.3

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 5$